Commit 244a14b3 authored by Filip Kučerák's avatar Filip Kučerák
Browse files

Add web

parent be61d796

README.md

+17 −1
Original line number Diff line number Diff line 
# kocicky

# Seminár teórie kategorii pre informatikov



# Zdroje: 



__Osnova__: Jan-Willem Buurlage - [Categories and Haskell](https://github.com/jwbuurlage/category-theory-programmers)

__Odporúčaný__: Bartosz Milewski - [Category Theory for Programmers](https://bartoszmilewski.com/2014/10/28/category-theory-for-programmers-the-preface)

__Doplnkový__: Steve Awodey - [Category Theory](https://englishonlineclub.com/pdf/Category%20Teory%20[EnglishOnlineClub.com].pdf)



# Organizácia: 



Piatok 13:30 v (TBD)



# Témy: 



- 1. Úvod do kategorií, Funktory, Prirodzené transformácie

- 2. Produkty, Koprodukty



TBD

sem_01/rozdavek_01.pst

0 → 100644
+77 −0
Original line number Diff line number Diff line 
# Úvod do teórie kategórii



Kategória - $C(O, A, \circ)$:



- $O$ - kolekcia objektov

- $A$ - kolekcia _arrows_ - morfizmy medzi objektami z $O$

- $\circ$ - binárne skladanie morfizmov 

    - musí platiť asociativita - $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f) = h \circ g \circ f$

    - identita $id$ je voči operátoru neutrálna aj zľava aj sprava, nech $f : a \to b$ potom $f \circ id_a = id_b \circ f = f$

- $id$ / $1$ - identické morfizmy pre všetky objekty ($id_a$ - identický morfizmus $a \in O$)

- $Hom(a, b)$ - kolekcia morfizmov **z** $a$ **do** $b$



Kategórie



- _Malá_: aj $O$ aj $A$ sú množiny

- _Veľká_: nie malá

- _Lokálne malá_: pre všetky objekty $a, b \in C$ je $Hom_C(a, b)$ množina

- _Riedka (thin)_: pre všetky objekty $a, b \in C$ platí $|Hom(a, b)| \in \{0, 1\}$

- _Voľná (free)_: kategória generovaná z orientovaného grafu pomocou voľnej konštrukcie (doplnenie identít a zložením hrán - pre každú cestu z $u$ do $v$ existuje hrana reprezentujúca túto cestu)



Špeciálne objekty



- iniciálny objekt 

    - $a$ je iniciálny objekt $\iff \forall b \in O_C \ldotp\exists! m \in A_C \ldotp m: a \rightarrow b$ 

    - do každého objektu kategórie vedie unikátna šípka

    - v kategórii typov si môžeme predstaviť `void`, pretože pre každý iný typ `T` existuje funkcia `asburd : void -> T`

    - unikátny až na unikátny izomorfizmus



- terminálny objekt

    - $a$ je terminálny objekt $\iff \forall b \in O_C \ldotp\exists! m \in A_C \ldotp m : b \rightarrow a$ 

    - z každého objektu kategórie vedie unikátna šípka

    - v kategórii typov si môžeme predstaviť `unit`, pretože pre každý iný typ existuje funkcia `unit : T -> ()`

    - unikátny až na unikátny izomorfizmus



Opačná kategória $C^{op}$ - morfizmy idú opačne, dáva možnosť pojednávať o duálnych pojmoch (terminálny objekt je iniciálny v opačnej kategórii)



Špeciálne morfizmy



- _monomorfizmus (mono)_



    > $f : a \to b \in C$ je monomorfizmus $\iff$ 



    > $\forall x \in C \ldotp \forall g, h : x \to a \in C \ldotp \{ f \circ g = f \circ h \implies g = h \}$ 



- _epimorfizmus (epi)_



    > $f : a \to b \in C$ je epimorfizmus $\iff$



    > $\forall x \in C \ldotp \forall g, h : b \to x \in C \ldotp \{ g \circ f = h \circ f \implies g = h \}$ 

- _izomorfizmus_



    > $f : a \to b \in C$ je izomorfizmus $\iff$ 



    > $\exists g : b \to a \in C \ldotp \{ g \circ f = id_a \land f \circ g = id_b \}$

- _endomorfizmus_



    > $f : a \to a$



- _automorfizmus_



    > endomorfizmus + izomorfizmus



Príklady kategórii: 



- **0** - kategória bez prvkov a morfizmov

- **1** - kategória s práve jedným prvkom a jeho identitou

- **2** - kategória s práve dvoma prvkami, medzi ktorými sú morfizmy 

- **Set** - kategória množín a funkcii 

- **Grp** - kategória grúp s homomorfizmom grúp

- **Cat** - kategória malých kategórii a funktorov

- _Order_ - kategória usporiadania s $\le$

- _free construction_ - konštrukcia z orientovaného grafu 

- _Monoid ako kategória_ - kategória s jedným objektom a endomorfizmami 

- _Grupa ako kategória_ - kategória s jedným objektom a automorfizmami

- **Hask** - kategória typov v jazyku Haskell a funkcii

web/kocicky.css

0 → 100644
+17 −0
Original line number Diff line number Diff line 
body {

    width: 60%;

    margin: auto;

    max-width: 800px;

}



@media screen and (max-width: 540px) {

    body {

        width: 90%;

    }

}



@media screen and (min-width: 540px) and (max-width: 780px) {

    body {

        width: 80%;

    }

}

web/kocicky.html

0 → 100644
+49 −0
Original line number Diff line number Diff line 
<!DOCTYPE html>

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang xml:lang>

<head>

  <meta charset="utf-8" />

  <meta name="generator" content="pandoc" />

  <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0, user-scalable=yes" />

  <title>Seminár teórie kategórii</title>

  <style type="text/css">

      code{white-space: pre-wrap;}

      span.smallcaps{font-variant: small-caps;}

      span.underline{text-decoration: underline;}

      div.column{display: inline-block; vertical-align: top; width: 50%;}

  </style>

  <style type="text/css">body {

width: 60%;

margin: auto;

max-width: 800px;

}

@media screen and (max-width: 540px) {

body {

width: 90%;

}

}

@media screen and (min-width: 540px) and (max-width: 780px) {

body {

width: 80%;

}

}

</style>

</head>

<body>

<header id="title-block-header">

<h1 class="title">Seminár teórie kategórii</h1>

</header>

<h2 id="organizácia">Organizácia</h2>

<p>Seminár prebieha každý piatok o 13:30 v (TBD). Každý člen semináru pripraví <em>aspoň</em> jednu prezentáciu, ktorá by mala odprezentovať zadanú téma. Téma a jej “prednášajúci” sa určí vždy dva týždne dopredu. V prípade, že máte seminár zapísaný sa zároveň očakáva, že sa semináru budete zúčastňovať <em>vždy</em>, keď to bude možné.</p>

<p>V prípade potreby môžete písať na mail <strong>kocicky@fi.muni.cz</strong> alebo na irc kanál <strong>#fimu-kocicky</strong>.</p>

<h2 id="literátura">Literátura</h2>

<p><strong>Osnova</strong>: Jan-Willem Buurlage - <a href="https://github.com/jwbuurlage/category-theory-programmers">Categories and Haskell</a></p>

<p><strong>Odporúčaný</strong>: Bartosz Milewski - <a href="https://bartoszmilewski.com/2014/10/28/category-theory-for-programmers-the-preface">Category Theory for Programmers</a></p>

<p><strong>Doplnkový</strong>: Steve Awodey - <a href="https://englishonlineclub.com/pdf/Category%20Teory%20%5BEnglishOnlineClub.com%5D.pdf">Category Theory</a></p>

<h2 id="osnova-semináru">Osnova semináru</h2>

<p>25.02.2020 - Úvod to kategórii (<a href="https://www.fi.muni.cz/~xkucerak/kocicky/rozdavek/sem_01.pdf">rozdavok</a>)</p>

<p>04.03.2020 - Funktory a prirodzené tranfsormácie</p>

<p>11.03.2020 - Produkty a koprodukty</p>

<p>18.03.2020 - Yoneda lemma</p>

<p>TBD</p>

</body>

</html>

web/kocicky.md

0 → 100644
+30 −0
Original line number Diff line number Diff line 
---

title: Seminár teórie kategórii

---



## Organizácia



Seminár prebieha každý piatok o 13:30 v (TBD). Každý člen semináru pripraví _aspoň_ jednu prezentáciu, ktorá by mala odprezentovať zadanú téma. Téma a jej "prednášajúci" sa určí vždy dva týždne dopredu. V prípade, že máte seminár zapísaný sa zároveň očakáva, že sa semináru budete zúčastňovať _vždy_, keď to bude možné.



V prípade potreby môžete písať na mail __kocicky@fi.muni.cz__ alebo na irc kanál __#fimu-kocicky__.



## Literátura



__Osnova__: Jan-Willem Buurlage - [Categories and Haskell](https://github.com/jwbuurlage/category-theory-programmers)



__Odporúčaný__: Bartosz Milewski - [Category Theory for Programmers](https://bartoszmilewski.com/2014/10/28/category-theory-for-programmers-the-preface)



__Doplnkový__: Steve Awodey - [Category Theory](https://englishonlineclub.com/pdf/Category%20Teory%20[EnglishOnlineClub.com].pdf)



## Osnova semináru 



25.02.2020 - Úvod to kategórii 

([rozdavok](https://www.fi.muni.cz/~xkucerak/kocicky/rozdavek/sem_01.pdf))



04.03.2020 - Funktory a prirodzené tranfsormácie



11.03.2020 - Produkty a koprodukty 



18.03.2020 - Yoneda lemma



TBD